Matura Operon 2015; Matura Sierpień 2015; Matura Czerwiec 2015; Matura Sierpień 2014; Matura Czerwiec 2014; Matura Sierpień 2013; Matura Czerwiec 2013; Matura Sierpień 2012; Matura Czerwiec 2012; Matura Sierpień 2011; Matura Czerwiec 2011; Matura Sierpień 2010; Arkusz maturalny czerwiec 2018; Arkusz maturalny czerwiec 2019; Arkusz 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3). Przykładowe rozwiązanie Zapisujemy wzór na sumę 30 początkowych wyrazów ciągu ()an z wykorzystaniem danych w zadaniu 1 2 n n aa Sn + =⋅, zatem ę Matura sierpień 2012 zadanie 5 Liczba −2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Wtedy: Liczba −2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Zadanie nr 3, matura 2013 sierpień. W odpowiedziach mamy dostępne potęgi liczby pomnożone przez pierwiastek z pięciu. Po usunięciu niewymierności z mianownika będziemy już blisko takiego wyniku. Wykonajmy to Zredukujmy ułamek ( z licznika skrócimy z z mianownika). Przyjrzyjmy się iloczynowi . http://akademia-matematyki.edu.pl/ Link do kursu: http://kurs-maturalny-warszawa.pl/?p=285Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej Pełne lekcj (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie xm xm m 22 − () −+−=440 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 23 m 3 − . Poprzedni wpis Poprzedni Matura sierpień 2017 zadanie 23 Średnia arytmetyczna zestawu danych: x,2,4,6,8,10,12,14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa: Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa: Matura sierpień 2016 zadanie 29 Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=x2−11x. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale −6,6 . Zadanie 10.5. [matura, sierpień 20tO,zad.28. (2 pkt)] Piąty wyraz ciągu arytmeĘcznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest 1.114. Rozwiąż nierówności: a) 4, 2(x + 5) + 1, 8 = - 2, 4 c) 3(2 - 4x) + 2x >= 5(1 – 2x) II. 3, 5(x – 7) > 2, 5x – 14, 5 III. x + 8 18 II. (2x - 3)(- 0, 6 oabZckV. Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa A.\( \frac{2}{3} \) B.\( 1 \) C.\( \frac{6}{7} \) D.\( \frac{27}{6} \) CDany jest prostokąt o wymiarach \(40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta się o \( 8\% \) się o \( 4\% \) się o \( 8\% \) się o \( 4\% \) DLiczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa A.\( 45^{40} \) B.\( 45^9 \) C.\( 9^4 \) D.\( 5^4 \) DLiczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa A.\( \sqrt{\frac{16}{63}} \) B.\( \frac{16}{3\sqrt{7}} \) C.\( 1 \) D.\( \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} \) BWartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa A.\( -3 \) B.\( -2\frac{1}{4} \) C.\( -2 \) D.\( 0 \) CWartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o A.\( 50 \) B.\( 10 \) C.\( 5 \) D.\( 25 \) DNa jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \[\begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} \] Wskaż ten rysunek. ANajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest A.\( -2 \) B.\( -1 \) C.\( 0 \) D.\( 1 \) CRozwiązaniem równania \(x^2(x +1) = x^2−8\) jest A.\( -9 \) B.\( -2 \) C.\( 2 \) D.\( 7 \) BFunkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa A.\( 2-4\sqrt{2} \) B.\( 1-2\sqrt{2} \) C.\( 1+2\sqrt{2} \) D.\( 2+4\sqrt{2} \) AParabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem A.\( y=2\cdot (x+3)^2+5 \) B.\( y=-2\cdot (x-3)^2+5 \) C.\( y=-2\cdot (x+3)^2+5 \) D.\( y=-2\cdot (x-3)^2-5 \) CWykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych A.\( (0,-3) \) B.\( (-3,0) \) C.\( (0,2) \) D.\( (0,3) \) AWierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne A.\( (4,2) \) B.\( (0,2) \) C.\( (2,0) \) D.\( (2,4) \) BWszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba A.\( 77 \) B.\( 84 \) C.\( 91 \) D.\( 98 \) CCiąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy A.\( -1 \) B.\( \frac{31}{33} \) C.\( \frac{9}{11} \) D.\( 1 \) BSinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas A.\( \cos \alpha =\frac{1}{4} \) B.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4} \) C.\( \cos \alpha =\frac{7}{16} \) D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{16} \) BW trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy A.\( \frac{5}{2} \) B.\( \frac{2}{5} \) C.\( \frac{2}{\sqrt{29}} \) D.\( \frac{5}{\sqrt{29}} \) CPole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150^\circ \) jest równe A.\( 18\sqrt{2} \) B.\( 18 \) C.\( 36\sqrt{2} \) D.\( 36 \) BW okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa A.\( 40^\circ \) B.\( 50^\circ \) C.\( 20^\circ \) D.\( 25^\circ \) AWspółczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A = (−4,3)\) oraz \(B = (8,7)\), jest równy A.\( a=3 \) B.\( a=-1 \) C.\( a=\frac{5}{6} \) D.\( a=\frac{1}{3} \) DPunkt \(S = (2,−5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A = (−4,3)\) i \(B = (8,b)\). Wtedy A.\( b=-13 \) B.\( b=-2 \) C.\( b=-1 \) D.\( b=6 \) ADany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a, b, c\), gdzie \(a \lt b \lt c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ \) otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa A.\( V=\frac{1}{3}a^2b\pi \) B.\( V=a^2b\pi \) C.\( V=\frac{1}{3}b^2a\pi \) D.\( V=a^2\pi +\pi ac \) APrzekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy \(4\) i wysokość jest równa \(6,\) ma długość A.\( \sqrt{10} \) B.\( \sqrt{20} \) C.\( \sqrt{52} \) D.\( 10 \) DW grupie jest \(15\) kobiet i \(18\) mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe A.\( \frac{1}{15} \) B.\( \frac{1}{33} \) C.\( \frac{15}{33} \) D.\( \frac{15}{18} \) CIle jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane? A.\( 3 \) B.\( 6 \) C.\( 9 \) D.\( 27 \) DRozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 2\).\(x=\frac{4}{3}\) lub \(x=4\)Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się \(6\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(6\), a w drugim – \(8\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(8\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez \(11\).\(\frac{1}{8}\)Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\).\(x\in \langle 2;3\rangle \)Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).\(\frac{2}{7}\)Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2\).W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\). Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A = (−2, 2)\), \(B = (6, − 2)\), \(C = (10,6)\).\(y=-3x+16\)Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa. \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).\(a=-\frac{1}{4}\), \(b=3\), \(c=0\) 31 sierpnia, 2015 28 kwietnia, 2020 Zadanie 6 (0-1) Wartość wyrażenia (a+5)2 jest większa od wartości wyrażenia (a2+10a) o Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2014/2015 - Matura sierpień poziom podstawowy Analiza: Odpowiedź: Matura - poziom podstawowy Egzaminy maturalne - archiwum 2017 Zadania z matury podstawowej z matematyki 2016 są obecnie wprowadzane na stronę. W niedługim czasie udostępnione zostaną odpowiedzi i analizy zadań. Zadanie z odpowiedzią bez analizy Zadanie z analizą i odpowiedzią Matura 2018 - poziom podstawowy Matura 2022 - poziom podstawowy 2022 Zadanie z odpowiedzią bez analizy Zadanie z analizą i odpowiedzią Matura 2020 - poziom podstawowy Zadanie z odpowiedzią - bez analizy Zadanie z analizą i odpowiedzią Matura 2019 - poziom podstawowy Zadanie z odpowiedzią - bez analizy Zadanie z analizą i odpowiedzią Matura 2021 - poziom podstawowy Maj 2021 Zadanie z odpowiedzią - bez analizy Zadanie z analizą i odpowiedzią Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .Niech \(a=\frac{2}{3}\), \(b=\frac{1}{2}\). Wtedy wartość wyrażenia \(\frac{a+b}{a\cdot b}\) jest równa A.\( \frac{7}{2} \) B.\( \frac{9}{5} \) C.\( \frac{7}{18} \) D.\( \frac{3}{2} \) ACenę pewnego towaru obniżano dwukrotnie, za każdym razem o \(20\%\). Takie dwie obniżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną obniżką \( 40\% \) \( 36\% \) \( 32\% \) \( 28\% \) BLiczba \(\frac{5^{12}\cdot 9^5}{15^{10}}\) jest równa A.\( 25 \) B.\( 3^7 \) C.\( 3^3 \) D.\( \frac{25}{27} \) AW rozwinięciu dziesiętnym ułamka \(\frac{2}{7}\) na trzydziestym miejscu po przecinku stoi cyfra A.\( 7 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 4 \) DWskaż największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{4}-\sqrt{3}\lt 0\). A.\( 5 \) B.\( 6 \) C.\( 7 \) D.\( 8 \) BWyrażenie \(9 − ( y − 3)^2\) jest równe A.\( -y^2+18 \) B.\( -y^2+6y \) C.\( -y^2 \) D.\( -y^2+6y+18 \) BIloczyn liczb spełniających równanie \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=0\) jest równy A.\( 6 \) B.\( -5 \) C.\( 5 \) D.\( -6 \) DWierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne A.\( (4,2) \) B.\( (0,2) \) C.\( (2,0) \) D.\( (2,4) \) BMiejsce zerowe funkcji liniowej \(f(x) = x + 3m\) jest większe od \(2\) dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek A.\( m\lt -\frac{2}{3} \) B.\( -\frac{2}{3}\lt m\lt \frac{1}{3} \) C.\( \frac{1}{3}\lt m\lt 1 \) D.\( m\gt 1 \) ANa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(f\). Wskaż wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\) układu współrzędnych. A.\( y=f(x-4) \) B.\( y=f(x)-4 \) C.\( y=f(x+4) \) D.\( y=f(x)+4 \) COsią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f(x) = −2x^2 −8x + 6\) jest prosta o równaniu A.\( y=2 \) B.\( y=-2 \) C.\( x=2 \) D.\( x=-2 \) DCiąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem: \(a_n=2n-1\). Suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A.\( 101 \) B.\( 121 \) C.\( 99 \) D.\( 81 \) BDany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla \(n\ge 1\), w którym \(a_{10}=11\) oraz \(a_{100}=111\). Wtedy różnica \(r\) tego ciągu jest równa A.\( \frac{9}{10} \) B.\( -100 \) C.\( \frac{10}{9} \) D.\( 100 \) CW trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy A.\( \frac{5}{2} \) B.\( \frac{2}{5} \) C.\( \frac{2}{\sqrt{29}} \) D.\( \frac{5}{\sqrt{29}} \) CKąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(3\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha =0\). Wtedy A.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{3} \) B.\( \operatorname{tg} \alpha =3 \) C.\( \operatorname{tg} \alpha =\sqrt{3} \) D.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \) DDłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość \(2\sqrt{2}\). Pole tego sześciokąta jest równe A.\( 12\sqrt{3} \) B.\( 6\sqrt{3} \) C.\( 2\sqrt{3} \) D.\( 3\sqrt{3} \) DObwody dwóch trójkątów podobnych, których pola pozostają w stosunku \(1:4\), mogą być równe A.\( 9 \) i \(36\) B.\( 18 \) i \(36\) C.\( 9 \) i \(144\) D.\( 18 \) i \(144\) BPunkty \(A = (3, 2)\) i \(C\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\), a punkt \(O = (6,5)\) jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Współrzędne punktu \(C\) są równe A.\( (9,8) \) B.\( (15,12) \) C.\( \left(4\frac{1}{2},3\frac{1}{2}\right) \) D.\( (3,3) \) AOkrąg opisany równaniem \((x−3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\) jest styczny do osi \(Oy\). Promień \(r\) tego okręgu jest równy A.\( \sqrt{13} \) B.\( \sqrt{5} \) C.\( 3 \) D.\( 2 \) CKażda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(9\) (ostrosłup taki jest nazywany czworościanem foremnym). Wysokość tego ostrosłupa jest równa A.\( 3\sqrt{6} \) B.\( 3\sqrt{3} \) C.\( 2\sqrt{6} \) D.\( 3\sqrt{2} \) ADane są punkty \(A = (2, 3)\) oraz \(B = (−6, −3)\). Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny \(ABC\) jest równy A.\( \frac{20\sqrt{3}}{3} \) B.\( \frac{40\sqrt{3}}{3} \) C.\( \frac{5\sqrt{3}}{3} \) D.\( \frac{10\sqrt{3}}{3} \) CPole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(36\), a miara kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa \(30^\circ\). Wysokość tego graniastosłupa jest równa A.\( 3\sqrt{2} \) B.\( 6\sqrt{2} \) C.\( 2\sqrt{6} \) D.\( 3\sqrt{6} \) CZe zbioru \(\{0, 1, 2, ..., 15\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby pierwszej jest równe A.\( \frac{7}{16} \) B.\( \frac{3}{8} \) C.\( \frac{6}{15} \) D.\( \frac{7}{15} \) BMedianą zestawu danych \(9, 1, 4, x, 7, 9\) jest liczba \(8\). Wtedy \(x\) może być równe A.\( 8 \) B.\( 4 \) C.\( 7 \) D.\( 9 \) DIle jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane? A.\( 3 \) B.\( 6 \) C.\( 9 \) D.\( 27 \) DRozwiąż równanie \(8x^3 +8x^2 −3x − 3 = 0\).\(x=-1\) lub \(x=\frac{\sqrt{6}}{4}\) lub \(x=-\frac{\sqrt{6}}{4}\)Rozwiąż nierówność \(5x^2 − 45 \le 0\).\(x\in \langle -3;3\rangle \)Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez \(9\) lub podzielną przez \(12\).\(P(A)=\frac{8}{45}\)Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).\(\frac{2}{7}\)Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2\).W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\). Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o różnicy \(r \ne 0\) i pierwszym wyrazie \(a_1 = 2\). Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.\(q=2\)Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A = (−2, 2)\), \(B = (6, − 2)\), \(C = (10,6)\).\(y=-3x+16\)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.\(V=\frac{20\sqrt{15}}{3}\)